清华大学2019年“丘成桐数学英才班”笔试真题，增知教育

清华大学2019年“丘成桐数学英才班”笔试考试上午进行，本文搜集整理了本次考试的部分试题，供考生查看。

清华大学2019年“丘成桐数学英才班”笔试真题（部分）

1、x(x+2)(x+4)=2^y * 3^z，求正整数解

2、n为偶数，n阶全图G所有边染成红蓝两色，求同色三角形数量最小值

3、.A为{1,2,……,N}子集

E(A)={(a,b,c,d)|a,b,c,d属于A，且a+b-c-d=0(modN)}

F(A)={(a,b,c,d)|a,b,c,d属于A，且a+b-c-d=2(modN)}

求证|E(A)|不小于|F(A)|，并指出取等

4、A1……An为n个有限集

求证 sigma|Ai∩Aj∩Ak|不小于(n-2)/3 * sigma|Ai∩Aj|

5、空间四点Ai（i=1,2,3,4），AiA(i+1)（A5=A1）都与一球面相切于四点，求证这四切点共面

6、求证{1,2,……,n}所有置换的轨道数之和=n!(1+1/2+1/3+……+1/n)

7、f(x)在[0,1]上连续且恒正，

integrate f(x) from 0 to 1 = 2019

integrate f(x)^2 from 0 to 1 =20181027

（1）给定n，证明存在唯一的x0

integrate f(x) from x(k) to x(k+1) = 2019/n

（2）证明对x0……xn，n->+∞，

证明[sigma f(x(k))]/n的极限存在并求值

A-1证明是代数整数的有理数都是整数

A-2 （1）x为有理数，证明2cos(pi*x)为代数整数

（2）x为有理数，求出一切x使cos(pi*x)为有理数

A-3（1）是否存在首一整系数多项式f使其有零点2^(1/2)+3^(1/3)

（2）若有，举例；否则，证明

A-4数列a(0)=3,a(1)=0,a(2)=2，a(n+3)=a(n+1)+a(n)，求证若p为质数，则p|a(p)

B-1抛骰子7次，求点数和24的概率

B-2（1）用b(1),b(2)……表示出Bell多项式系数B(7,n)(b)（n从1到7）

（2）若b(k)=1/k；任意整数m，求证

sigma B(m,n)(b)/n! =1 （n from 1 to m）

B-3 E(x)=sigma (x^n/n!)，T(x)=(E(x)-E(-x))/(E(x)+E(-x))，

（1）求证T'(x)+T(x)^2=1

（2）求T的反函数

B-4 任意自然数m，f(x)^(m+1)的级数展式中x^m项系数为1，求f(x)